Mondphase berechnen

Eigentlich ganz einfach, wenn man ein genaues und nicht zu lange in der Vergangenheit liegendes  Vollmonddatum kennt. Man rechnet dann die Zeit seitdem bis heute aus und teilt das Ergebnis durch die Zeit, die zwischen zwei Neumondereignissen vergeht. Von diese Ergebnis verwenden wir nur den Teil hinter dem Komma und haben so die aktuelle Phase ermittelt.
Der Phasenwert liegt zwischen null und eins, und sagt folgendes aus:

• 0.0 bedeutet Vollmond
• 0.25 abnehmender Halbmond (das letzte Viertel)
• 0.5 Neumond
• 0.75 zunehmender Halbmond (erstes Viertel)

Zu kompliziert? Dann ein Beispiel:

• Heute ist der 16.12.2018, 12:00 Uhr
• Ein "historischer" Vollmond war z.B. am 25.09.2018 um 4 Uhr, 52 Minuten. Ich empfehle hier den möglichst letzten Vollmond heranzuziehen, da die Umlaufzeit des Mondes variiert. Nachschauen könnt ihr z.B. bei http://vollmond.info
• Dazwischen liegen ziemlich genau 82,24 Tage
• Diese Zahl teilen wir durch 29,53 (das ist die synodische Umlaufzeit des Mondes, also die Zeit von Neumond zu Neumond bzw. von Vollmond zu Vollmond.)
  Als Ergebnis erhalten wir 2,785.
• Die Zwei vor dem Komma bedeutet, dass inzwischen zwei Mondperioden durchlaufen wurden,
• die 0,785 nach dem Komma zeigt, dass wir einen zunehmenden Mond haben und es nicht mehr lang bis Vollmond ist – siehe Tabelle oben.

Disclaimer: Leider sind die Umlaufzeiten des Mondes alles andere als konstant. Insofern sollte der vergangene Vollmond nicht zu lange her sein, um ein möglichst genaues Ergebnis zu erzielen. Siehe auch Wikipedia.

In Python sieht das dann so aus – basierend auf der zur Ausführung geltenden Zeit:

#!/usr/bin/python
#coding=UTF-8
#########################
# portiert auf Python 3.x
#########################

import time 

now_time=time.mktime(time.localtime())

# constants
syn_moon_month = 29.530589 						           # synodaler Monat

# constants
hist_fullmoon = 2018,9,25,6,1,36,0,0,1 			           # Historischer Vollmond als Strukturierte Zeit ---> Dies ist nur ein Beispiel ANPASSEN!!
moon_time = time.mktime(hist_fullmoon) 			           # Historischer Vollmond umgerechnet als Sekunden seit Epoch
hist_fullmoon_days = moon_time/86400 			           # Historischer Vollmond - in Tagen seit Epoch
# actuals
now_days = now_time/86400 						           # Tage seit Epoch bis jetzt 
days_since_hist_fullmoon = now_days - hist_fullmoon_days   # Differenz in Tagen: Jetzt - Historischer VM
print (days_since_hist_fullmoon)
full_moons_since = days_since_hist_fullmoon/syn_moon_month # Anzahl Vollmondereignisse seit hist. VM
print (full_moons_since)
phase = round(full_moons_since,2) 				           # Abrunden auf 2 Nachkommastellen 
phase = (phase-int(phase))						           # Nachkommastellen = Mondphase 

# calculate moon phase
if phase == 0: phase=1
if phase < 0.25:
    ptext="abnehmender Mond (drittes Viertel)" 
elif phase == 0.25:
    ptext="abnehmender Halbmond (letztes Viertel)" 
elif 0.25 < phase < 0.50:
    ptext="abnehmende Sichel" 
elif phase == 0.50:
    ptext="Neumond" 
elif 0.50 < phase < 0.75:
    ptext="zunehmende Sichel" 
elif phase == 0.75:
    ptext="zunehmender Halbmond (erstes Viertel)" 
elif 0.75 < phase < 1:
    ptext="zunehmender Mond (zweites Viertel)" 
elif phase == 1:
    ptext = "Vollmond"
    
print (phase, ptext)

 Aus Gründen der Nachvollziehbarkeit und zum Debuggen habe ich die einzelnen Rechenschritte nicht zusammengefasst. Epoch ist quasi der Nullpunkt der Unix/Linux Zeitrechnung und repräsentiert den 1.1.1970. Die Betriebssystem internen Zeitstempel basieren auf "Sekunden seit Epoch". Es gilt hier immer die eingestellte Systemzeit, also nicht UTC.

Einen vergangenen Vollmond könnt ihr für beliebige Orte der Welt auf der Seite mondverlauf.de nachschauen.

Das Abrunden auf 2 Nachkommastellen am Ende ist wichtig, da sonst nur für eine sehr kurze Zeit überhaupt die konkreten Phasen Voll, Halb und Neumond ausgegeben werden.

Beleuchtete Mondoberfläche

Will man nun ausrechnen, zu wieviel Prozent der Mond gerade beleuchtet wird, dann muss man etwas tiefer in die trigonometrische Trickkiste hinein greifen.

Etwas Mathematik

Da wir nur wissen wollen, wieviel Prozent der Mondscheibe sichtbar sind,  müssen wir nicht wissen, wie groß der Mond an sich ist, es reicht die Annahme, dass die Mondscheibe von der Erde aus gesehen in etwa kreisförmig erscheint und dass die Trennlinie zwischen Hell und Dunkel (Terminator genannt) in etwa einer halben Ellipse gleicht.  Für die Berechnung reicht uns daher als "Mondmodell" der sogenannte Einheitskreis mit Radius R = 1 und eine Ellipsenformel.

Ein Vollmond (entspricht 100% beleuchteter Mondoberfläche) hat in diesem Modell eine Fläche von 1² * π, also 3,1416.  Ihr erinnert euch sicher noch: Die Fläche eines Kreises ist R²*π

Die Beleuchtung für alle Mondphasen dazwischen (also 0% für Neumond und 50% für Halbmond) berechnen wir, indem wir vom Halbmond ausgehen und die der Mondphase entsprechende halbe Ellipsenfläche abziehen oder addieren.

Die sichtbare Scheibe zwischen Halb und Vollmond errechnet sich aus der Fläche des Halbkreises plus der halben Ellipsenfläche.

Für eine Scheibe zwischen Neumond und Halbmond errechnen wir die Beleuchtung aus der Fläche des Halbkreises minus der halben Ellipsenfläche.

Die Fläche des Halbkreises beträgt π/2 also 1,5716.

Die Formel für die Fläche der Halbellipse lautet (s * R * π)/2

Die kurze Halbachse s errechnet sich unter Zuhilfenahme des  weiter oben ausgerechneten Wertes phase.
Für Werte von phase zwischen 0 bis 0.5 lautet die Formel

s = cos(phase * 2 * π)

für Werte von phase zwischen 0.5 und 0.9999

s = – cos(phase * 2 * π)

(Minuszeichen vor dem cosinus beachten). Haben wir die Fläche der halben Ellipse berechnet, setzen wir das Ganze dann ins Verhältnis zum Vollkreis (Vollmond).

Ein Beispiel:

• Phase ist hier 0,375 (entspricht einem abnehmenden Viertelmond)
• s = cos(0,375 * 2 * π) = -0,7071
• Fläche der Ellipse = -0,7071 * 1 * π  = -2,2214
• davon die Hälfte = -1,1107
• Addiert zur Fläche des Halbkreises = 1,5708 + (-1,1107) = 0,4601
• in Prozent des Vollkreises = 0,4601/3,1416 * 100 = 14,6% der Mondoberfläche sind beleuchtet.
  

Python Code

Auch hier habe ich die einzelnen Rechenschritte zum besseren Verständnis – und um das Debuggen zu erleichtern – nicht zusammengefasst.

Achtung: je länger der von euch im Code weiter oben gewählte Vollmondtermin  her ist, desto ungenauer wird das Ergebnis.

#Beleuchtete Mondoberfläche in Prozent auf Basis der Phase berechnen
from math import pi, cos
#Konstanten
phase = 0.375                                   # Diese Zeile nur zu Testzecken
hmoonA = float(pi/2)                            # Fläche des Einheitskreises/2 (d.h. Radius = 1)
# Rechenwerk
if phase < 0.5:
        s = cos(phase * pi * 2)                 # Errechnung kurze Halbachse s der Ellipse
        ellipse = s * 1 * pi                    # Ellipsenfläche = Produkt der beiden Halbachsen * Pi 
        hEllA = ellipse / 2                     # halbe Ellipsenfläche
        illA = hmoonA + hEllA                   # Beleuchtete Mondoberfläche = Halbmondfläche plus halbe Ellipsenfläche
else:
        s = -cos(phase * pi *2)                 # Errechnung kurze Halbachse s der Ellipse
        ellipse = s * 1 * pi                    # Ellipsenfläche = Produkt der beiden Halbachsen * Pi 
        hEllA = ellipse / 2                     # halbe Ellipsenfläche
        illA = hmoonA - hEllA                   # iBeleuchtete Mondoberfläche = Halbmondfläche plus halbe Ellipsenfläche

illumperc =  illA / pi * 100                    # Beleuchtete Mondoberfläche in % der Vollmondoberfläche (Basis Einheitskreis mit r=1)
illumperc = round(illumperc,1)	                # auf eine Nachkommestelle abrunden
# Ausgabe    
print (illumperc)

oder beides zusammen als Subroutine

#!/usr/bin/python
#coding=UTF-8
########################
# portiert auf Python3.x
########################

import time 
from math import pi, cos

def moonphase(now_time):
    # constants
    syn_moon_month = 29.530589 						# synodal length of moon cycle 

    # constants
    hist_fullmoon = 2025,2,12,14,53,0,0,0,0 	    # base full-moon as struct time ---> adapt to most recent full-moon
    moon_time = time.mktime(hist_fullmoon) 			# base full-moon - seconds since epoch 
    hist_fullmoon_days = moon_time/86400 			# base full-moon - days since epoch 
    now_days = now_time/86400 						# days since eval 
    days_since_hist_fullmoon = now_days - hist_fullmoon_days   # difference in days between base fullmoon and now 
    full_moons_since = days_since_hist_fullmoon/syn_moon_month # Number of full-moons that have passed since base full-moon 
    phase = round(full_moons_since,2) 				# rounded to 2 digits 
    phase = (phase-int(phase))						# trailing rest = % moon-phase 

    # calculate moon phase
    if phase == 0: phase=1
    if phase < 0.25:
        ptext="abnehmender Mond (drittes Viertel)" 
    elif phase == 0.25:
        ptext="abnehmender Halbmond (letztes Viertel)" 
    elif 0.25 < phase < 0.50:
        ptext="abnehmende Sichel" 
    elif phase == 0.50:
        ptext="Neumond" 
    elif 0.50 < phase < 0.75:
        ptext="zunehmende Sichel" 
    elif phase == 0.75:
        ptext="zunehmender Halbmond (erstes Viertel)" 
    elif 0.75 < phase < 1:
        ptext="zunehmender Mond (zweites Viertel)" 
    elif phase == 1:
        ptext = "Vollmond"
        
    return phase, ptext

def illumination(phase):
    #constants
    hmoonA = float(pi/2)                            # area of unit circle/2

    # calculate percentage of moon illuminated
    if phase < 0.5:
            s = cos(phase * pi * 2)
            ellipse = s * 1 * pi                    # Ellipsenfäche = Produkt der beiden Halbachsen * Pi 
            hEllA = ellipse / 2                     # Ellipse Area/2 (major half axis * minor half axis * pi)/2
            illA = hmoonA + hEllA                   # illuminated area of moon = Half moon area plus half Ellipse
    else:
            s = -cos(phase * pi *2)                 # minor half axis of ellipse
            ellipse = s * 1 * pi
            hEllA = ellipse / 2                     # Ellipse Area/2 (major half axis * minor half axis)/2
            illA = hmoonA - hEllA                   # illuminated area = Half moon area minus half Ellipse Area

    illumperc =  illA / pi * 100                    # illuminated area relative to full moon area (based on unit circle r=1)	
    illumperc = round(illumperc,1)
        
    return illumperc
    
if __name__ == '__main__':
    adesso = time.mktime(time.localtime())
    mtupel = moonphase(adesso)
    mphase = mtupel[0]
    mphase_text = mtupel[1]
    millum = illumination(mtupel[0])
    print ("Phase numerisch: %1.2f, Mondphase: %s, beleuchtete Oberfläche %1.1f%%" % (mphase, mphase_text, millum))

Wird das Programm direkt aufgerufen, gibt es die aktuelle Mondphase numerisch und in Textform sowie die beleuchtete Mondoberfläche aus.

Das Programm (ich habe es mond.py genannt) kann in andere Programme mit

import mond

(ohne .py am Ende) eingebunden werden. Aufgerufen wird es folgendermaßen:

import time
import mond #oder wie immer du dein Prog nennst

# calculate moon phase and illumination
jetzt = time.mktime(act_time)               # Aktuelle Zeit
mtupel = mond.moonphase(jetzt)              # mond.mondphase(UnixZeitstempel) gibt ein Tupel aus: Element 0 = phase; Element 1 = Phasentext     
mphase = mtupel[1]                          # Phase als Text   
millum = mond.illumination(mtupel[0])       # mond.illumination(phase) gibt die beleuchtete Oberfläche aus

Quellen:

Als sehr hilfreich zum Verständnis haben folgende Webseiten erwiesen:

http://www.Mondverlauf.de
http://avila.star-shine.ch/astro/berechnungen.html